Question

6．直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，且一直角邊的方程是y=2x，斜邊長(zhǎng)是5，求此拋物線的方程．

Answer 1

分析 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜邊長(zhǎng)為5，即可求得拋物線的方程．

解答 解：因?yàn)橐恢苯沁叺姆匠淌莥=2x，所以另一直角邊的方程是y=-$\frac{1}{2}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}}\\{y=p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8p}\\{y=-4p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴三角形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，p）和（8p，-4p）．
∴$\sqrt{（\frac{p}{2}-8p）^{2}+（p+4p）^{2}}$=5解得p=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
故所求拋物線的方程為²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．