Question

17．現(xiàn)定義一種運(yùn)算“⊕”：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{b，a-b≥1}\\{a，a-b＜1}\end{array}\right.$，設(shè)f（x）=（x²-2x）⊕（x+3），若函數(shù)g（x）=f（x）+k的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-3，-2）∪（-8，-7]∪{1}．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)新定義求得f（x）的解析式，由題意可得f（x）的圖象和直線y=-k有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：令（x²-2x）-（x+3）=1，
求得x=-1，或x=4，
故當(dāng)x≤-1或x≥4時(shí)，
（x²-2x）-（x+3）≥1，f（x）=x+3；
當(dāng)x∈（-1，4）時(shí)，
（x²-2x）-（x+3）＜1，f（x）=x²-2x．
函數(shù)g（x）=f（x）+k的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則f（x）的圖象和直線y=-k有2個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：
故有-k=-1，或2＜-k＜3，或 7≤-k＜8，
求得實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（-3，-2）∪（-8，-7]∪{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．