Question

4．如圖所示，在四棱錐A-BCDE中，AE⊥平面BCDE．△BCE是正三角形，BD和CE的交點(diǎn)恰好平分CE，又AE=BE=2，∠CDE=120°，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）證明：平面ABD⊥平面ACE
（2）求異面直線(xiàn)GF和DC所成角的余弦值
（3）求二面B-CA-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的判定定理即可證明平面ABD⊥平面ACE
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求異面直線(xiàn)GF和DC所成角的余弦值
（3）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面B-CA-E的余弦值．

解答 解：（1）∵AE⊥平面BCDE，BD?平面BCDE，
∴AE⊥BD，
∵△BCE是正三角形，BD和CE的交點(diǎn)恰好平分CE，
∴BD⊥EC，
∵EC∩AE=E，
∴BD⊥平面ACE
BD?平面ABD
∵平面ABD⊥平面ACE
（2）∵BD⊥EC，∴△EDC為等腰直角三角形，
∴ED=CD，
∵∠CDE=120°，∴∠DEC=30°，
則∠BED=60°+30°=90°，即BE⊥ED，
建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AE=BE=2，∠CDE=120°，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴B（2，0，0），E（0，0，0），A（0，0，2），
又DE=BEtan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則D（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
AB=2$\sqrt{2}$，則AG=$\frac{1}{4}$AB，
則$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{4}$（2，0，-2）=（$\frac{1}{2}$，0，-$\frac{1}{2}$），
則G（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），
∵CE=2，∴C（2cos60°，2sin60°，0），即C（1，$\sqrt{3}$，0），
則F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
則$\overrightarrow{GF}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）和$\overrightarrow{DC}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
則|$\overrightarrow{DC}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，|$\overrightarrow{GF}$|=$\sqrt{3}$，
則cos＜$\overrightarrow{GF}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{GF}||DC|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，
即異面直線(xiàn)GF和DC所成角的余弦值是$\frac{1}{4}$．
（3）設(shè)平面BCA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{x+\sqrt{3}y-2=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=1，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
設(shè)平面CAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=0，x=-$\sqrt{3}$，即$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}•\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}}{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∵二面B-CA-E是銳二面角，
∴二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直以及空間角的求解，根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．