Question

11．A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第--象限，C是圓0與π軸正半軸的交點(diǎn)，△A0B為等腰直角三角形，記∠AOC=α．
（1）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求$\frac{2sinα•sinα}{co{s}^{2}α+1-2si{n}^{2}α}$的值；
（2）求|BC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，得出sinα與cosα的值，代入計(jì)算即可；
（2）用α表示出∠BOC，再利用余弦定理寫(xiě)出|BC|²的表達(dá)式，求出它的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$；
∴$\frac{2sinα•sinα}{co{s}^{2}α+1-2si{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}}{{（\frac{3}{5}）}^{2}+1-2{×（\frac{4}{5}）}^{2}}$=12；
（2）∵∠AOC=α，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴∠BOC=α+$\frac{π}{2}$；
∴|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC
=1+1-2cos（α+$\frac{π}{2}$）=2+2sinα，
又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα∈（0，1），
∴2+2sinα∈（2，4），
即|BC|²的取值范圍是（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，也考查了余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．