Question

10．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E為PA的中點(diǎn)，
（1）求證：PC∥平面EBD．
（2）求E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位線定理可得OE∥PC，再利用線面平行的判定定理即可證明PC∥平面EBD．
（2）在底面作OH⊥BC，垂足為H，根據(jù)OE∥平面PBC可知點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，求出OH即可求出點(diǎn)E到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E為PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足為H，
因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面ABCD，
所以O(shè)H⊥平面PCB，
又因?yàn)镺E∥PC，
所以O(shè)E∥平面PBC，
所以點(diǎn)E到平面PBC的距離就是點(diǎn)O到平面PBC的距離OH，解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直與面面垂直的判定性質(zhì)定理，考查了了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．