Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，（n≥2，n∈N^*），若a_k=100，則k=200．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，作差后即可得到$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），再由已知求出a₂，則數(shù)列在n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式可求，由a_k=100求得k值．

解答 解：由a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，（n≥2，n∈N^*），得
a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}{a}_{n}$，
兩式作差得：${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{n}{a}_{n}$（n≥2），
∴${a}_{n+1}=\frac{n+1}{n}{a}_{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），
由a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，得a₂=a₁=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{n}{2}$，
由a_k=100=$\frac{k}{2}$，得k=200．
故答案為：200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．