Question

12．已知圓柱形罐頭盒的容積是V（定數(shù)），問它的高與底面半徑多大時罐頭盒的表面積最小？

Answer 1

分析 設半徑為R，高為h，根據(jù)圓柱的體積公式求出半徑和高的關系，求出罐頭盒的表面積最，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結論．

解答 解：V=πR²H，H=V/（πR²） S=2πR²+2πRH=2πR²+2πRV/（πR²）=2πR²+2V/R，S'=4πR-2V/R²，S'=0，4πR-2V/R²=0，R³=V/（2π），R=[V/（2π）]開立方，H=V/（πR²）=2R=[V/（2π）]開立方×2，（高=2×底面半徑）．
設半徑為R，高為h，
則由圓柱的體積公式得πR²h=V，
即h=$\frac{V}{π{R}^{2}}$，
則底面積為2πR²，側面積：2πRh=2πR•$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{2V}{R}$，
則表面積S=2πR²+$\frac{2V}{R}$，
則函數(shù)的導數(shù)S′=4πR-$\frac{2V}{{R}^{2}}$=$\frac{4π{R}^{3}-2V}{{R}^{2}}$，
由y′=0，得4πR³=2V，即R³=$\frac{V}{2π}$，即R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，
即當R＞$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時，S′＞0，當0＜R＜$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時，S′＜0，
即當R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值．此時罐頭盒的表面積最小，
此時高h=$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{V}{π（\root{3}{\frac{V}{2π}}）^{2}}$．

點評 本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，根據(jù)條件求出函數(shù)的表達式，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．