Question

9．如圖，是一個正方體的平面展開圖及該正方形的直觀圖的示意圖，其中M是所在棱的中點
（1）求MN與EF所成角的余弦值；
（2）求證：平面MNF⊥平面EFN；
（3）求直線AC與平面EFM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由展開圖得到正方體的直觀圖的對應關系，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解即可．
（2）求出兩個平面的法向量，利用向量法的關系進行證明即可．
（3）求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：（1）由展開圖得到正方體的直觀圖的對應關系如圖：
建立以B為原點的空間直角坐標系如圖：設正方體的邊長為1，
則B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），N（0，0，1），E（1，0，1），M（$\frac{1}{2}$，1，1），F(xiàn)（1，1，0），
則$\overrightarrow{NM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-1），則|$\overrightarrow{NM}$||=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，|$\overrightarrow{EF}$|=$\sqrt{2}$，
則cos＜$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{NM}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即MN與EF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（2）設平面EFN的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{NE}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NE}=x=0}\end{array}\right.$，令y=1，則z=1，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設平面MNF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{NF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{NM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NF}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}x+y=0}\end{array}\right.$，令x=2，則y=-1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）•（2，-1，1）=0-1+1=0，
即$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，即平面MNF⊥平面EFN
（3）$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設平面EFM的法向量為$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{FM}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{EF}=y-z=0}\\{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{FM}=-\frac{1}{2}x-z=0}\end{array}\right.$，令x=2，則z=-1，y=-1，
即$\overrightarrow{c}$=（2，-1，-1），
則設直線AC與平面EFM所成角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{c}|}$|=$\frac{|-2-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則θ=60°，即cosθ=cos60°=$\frac{1}{2}$
即直線AC與平面EFM所成角的余弦值是$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判定依據(jù)異面直線所成角和直線和平面所成角的求解，建立坐標系，利用坐標法是解決本題的關鍵．