Question

19．現(xiàn)將甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖：
（1）若對甲、乙兩人各再模擬測試6次，試估算6次測試成績中甲、乙兩人的成績位于（80，100）內(nèi)的次數(shù)；
（2）現(xiàn)對甲、乙兩人作最后一次模擬測試，求甲、乙兩人的成績至少有一人位于（80，100）內(nèi)的概率；
（3）若每次模擬測試甲、乙兩人同時考，且一次模擬測試中兩人的成績至少有一人位于（80，100），該次為合格，求再模擬十二次合格次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．
（注：本題中的頻率視為概率）

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖分別求出甲的模擬測試成績位于（80，100）內(nèi)的頻率和乙的模擬測試成績位于（80，100）內(nèi)的頻率，由此能估算6次測試成績中甲、乙兩人的成績位于（80，100）內(nèi)的次數(shù)．
（2）由莖葉圖得一次模擬測試中，甲的成績位于（80，100）內(nèi)的概率為$\frac{1}{2}$，乙的成績位于（80，100）內(nèi)的概率為$\frac{2}{3}$，由此利用對立事件概率計算公式能求出對甲、乙兩人作最后一次模擬測試，甲、乙兩人的成績至少有一人位于（80，100）內(nèi)的概率．
（3）由已知得X～B（12，$\frac{5}{6}$），由此能求出再模擬十二次合格次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由莖葉圖得甲的模擬測試成績位于（80，100）內(nèi)的頻率為：$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
乙的模擬測試成績位于（80，100）內(nèi)的頻率為：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴若對甲、乙兩人各再模擬測試6次，
則估算6次測試成績中甲、乙兩人的成績位于（80，100）內(nèi)的次數(shù)分別為3次和4次．
（2）由莖葉圖得一次模擬測試中，甲的成績位于（80，100）內(nèi)的概率為$\frac{1}{2}$，
乙的成績位于（80，100）內(nèi)的概率為$\frac{2}{3}$，
∴對甲、乙兩人作最后一次模擬測試，
甲、乙兩人的成績至少有一人位于（80，100）內(nèi)的概率：
p=1-（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{6}$．
（3）∵每次模擬測試甲、乙兩人同時考，且一次模擬測試中兩人的成績至少有一人位于（80，100），該次為合格，
∴每次合格的概率p=$\frac{5}{6}$，
再模擬十二次合格次數(shù)X～B（12，$\frac{5}{6}$），
∴再模擬十二次合格次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX=12×$\frac{5}{6}$=10．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．