Question

2．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$|，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角是$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，對$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{2}|\overrightarrow{a}|$兩邊平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式求出cos$＜\overrightarrow，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞$，這樣即可得到所求夾角．

解答 解：根據(jù)已知條件得：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$cos＜\overrightarrow，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow|\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}}$=$\frac{{-\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{2}{\overrightarrow}^{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow與\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點評 考查數(shù)量積的運算，兩向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍．