9.在數(shù)列{an}中a1=2,a2=4,且當n≥2,n∈N*時,an2=an-1an+1
(1)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,證明:Sn=2an-2;
(2)若bn=(2n-1)an,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:Tn+1>4bn

分析 (1)可判數(shù)列{an}為等比數(shù)列,可得Sn和an,代入驗證可得;
(2)可得bn=(2n-1)×2n,錯誤相減求和驗證即可.

解答 解:(1)∵當n≥2,n∈N*時,an2=an-1an+1,
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$,即數(shù)列{an}為等比數(shù)列,
又在數(shù)列{an}中a1=2,a2=4,∴公比q=2,
∴an=2×2n-1=2n,Sn=$\frac{2×(1-{2}^{n})}{1-2}$=2n+1-2,
代入驗證可得Sn=2an-2;
(2)∵bn=(2n-1)an=(2n-1)×2n,
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
∴2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1,
兩式相減可得-Tn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1
=2+$\frac{2×{2}^{2}(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(2n-1)×2n+1
=(3-2n)2n+1-14,故Tn=(2n-3)2n+1+14,
∴Tn+1=(2n-1)2n+2+14,4bn=(2n-1)×2n+2
∴Tn+1>4bn

點評 本題考查數(shù)列求和,涉及等比數(shù)列的判定和求和公式以及錯位相減法求和,屬中檔題.

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