Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），定義函數(shù)f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$．
（1）求|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|的最大值；
（2）當(dāng)0≤x≤$\frac{2π}{3}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算得到|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|²=13-12cosx，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出模的最大值；
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算以及向量的數(shù)量積計(jì)算，以及三角函數(shù)二倍角公式，兩角和差公式，以及角的范圍得到f（x）=2cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{cos\frac{x}{2}}$，設(shè)t=cos$\frac{x}{2}$，則$\frac{1}{2}$≤t≤1得到f（t）=2t-$\frac{1}{t}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
∴2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$=（2cos$\frac{3x}{2}$-3cos$\frac{x}{2}$，2sin$\frac{3x}{2}$-3sin$\frac{x}{2}$），
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|²=|2cos$\frac{3x}{2}$-3cos$\frac{x}{2}$|²+|2sin$\frac{3x}{2}$-3sin$\frac{x}{2}$|²=13-12cosx，
∵-1≤cosx≤1，
∴-12≤-12cosx≤12，
∴1≤13-12cosx≤25，
∴1≤|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|²≤5．
∴|2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|的最大值為5；
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$-$\frac{x}{2}$）=cosx，
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cosx=4cos²$\frac{α}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{cosx}{|2cos\frac{x}{2}|}$=$\frac{2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1}{|cos\frac{x}{2}|}$，
∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴0≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤cos$\frac{x}{2}$≤1，
∴f（x）=2cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{cos\frac{x}{2}}$，
設(shè)t=cos$\frac{x}{2}$，則$\frac{1}{2}$≤t≤1，
∴f（t）=2t-$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=2+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
∴f（$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$-2=-1，
f（1）=2-1=1，
∴f（t）的值域?yàn)閇-1，1]，
故函數(shù)f（x）的值域的為[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，通過(guò)換元把f（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，換元時(shí)要注意變量范圍的等價(jià)性，此處易出錯(cuò)．