Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)），
（1）當(dāng)a=1時，求在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論的函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（3）若f（x）≥x²在（0，1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=e^x+x-1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點（1，f（1））處的切線的斜率，再由點斜式即可得切線方程；
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（3）將f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為a≥

1+x2-ex

x

在（0，1 ）上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，
（2）∵f（x）=e^x+ax-1，
∴f′（x）=e^x+a，
∴a≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
a＜0時，在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
在（-∞，ln（-a））上f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
（3）由f（x）≥x²得a≥

1+x2-ex

x

，
令h（x）=

1+x2-ex

x

，h′（x）=

(x-1)(x+1-ex)

x2

，
令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是減函數(shù)，∴k（x）＜k（0）=0．
因為x-1＜0，x²＞0，所以，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)恒成立問題，解決函數(shù)恒成立問題常常利用參變量分離法求出參數(shù)范圍，屬于中檔題．