Question

11．如圖，已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，曲線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB分別與C₁相交于D，E兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MD}$的值是（　�。�

• A． 正數(shù)
• B． 0
• C． 負(fù)數(shù)
• D． 皆有可能

Answer 1

分析 由題意設(shè)出A，B的坐標(biāo)，再設(shè)出過原點(diǎn)的直線l的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，再結(jié)合$\overrightarrow{MD}=λ\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{ME}=μ\overrightarrow{MB}$得答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過原點(diǎn)的直線l：y=tx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-tx-1=0．
則x₁+x₂=t，x₁x₂=-1．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x}_{1}，{y}_{1}+1）•（{x}_{2}，{y}_{2}+1）$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）
=（t²+1）x₁x₂+t（x₁+x₂）+1=-（t²+1）+t²+1=0．
而$\overrightarrow{MD}=λ\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{ME}=μ\overrightarrow{MB}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MD}$=$λμ\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與拋物線的簡單性質(zhì)，考查向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．