Question

17．${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx+cos²x）dx等于$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的性質(zhì)和二倍角公式即可求出．

解答 解：∵f（x）=x²sinx為奇函數(shù)，且積分上下限關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx）dx=0，
∵${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$$\frac{cos2x+1}{2}$dx=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+x）|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx+cos²x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（x²sinx）dx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cos²xdx=0+$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算和三角形函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．