Question

20．已知λ、μ∈R，α∈[0，90°]，且sin40°（λtan10°+μ）=-1，點(diǎn)P（λ，μ）與坐標(biāo)原點(diǎn)O間距的最小值是2sinα，則α=90°．

Answer 1

分析 由已知等式求出$\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}=2$，即點(diǎn)P（λ，μ）與坐標(biāo)原點(diǎn)O間的距離為2sinα=2，則α的值可求．

解答 解：由sin40°（λtan10°+μ）=-1，得
$sin40°（\frac{λsin10°}{cos10°}+μ）=-1$，即$sin40°\frac{λsin10°+μcos10°}{cos10°}=-1$，
∴$\frac{\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}sin40°sin（10°+θ）}{cos10°}=-1$，
由上可得：$\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}=2$．
即2sinα=2，sinα=1．
又α∈[0，90°]，
∴α=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是由已知的三角等式求出點(diǎn)P（λ，μ）與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離，是中檔題．