Question

5．函數(shù)f（x）對于x＞0有意義，且當x＞1時，f（x）＞0，f（2）=1，滿足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）證明：f（1）=0．
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別對x=y=1賦值，即可證f（1）=0；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）f（x）+f（x-2）≥2，可化為$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\{x}^{2}-2x≥4\end{array}\right.$，解得答案．

解答 證明：（1）∵對于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
∴可令x=y=1，則有f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0．
（2）設任意實數(shù)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵當x＞1時，f（x）＞0，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)；
（3）∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
若f（x）+f（x-2）=f（x²-2x）≥2=f（4）成立，
則$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\{x}^{2}-2x≥4\end{array}\right.$，
解得：x∈[1+$\sqrt{5}$，+∞）

點評 考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點的函數(shù)值和證明不等式等，屬中檔題．