Question

12．若直線2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）過(guò)點(diǎn)（1，-2），則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 6
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 通過(guò)直線2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）過(guò)點(diǎn)（1，-2）得出m+n=1，將$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$與m+n相乘，化簡(jiǎn)，運(yùn)用基本不等式即可求出最小值．

解答 解：∵直線2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）過(guò)點(diǎn)（1，-2），
∴將點(diǎn)（1，-2）代入直線方程，得：m+n=1，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）•1=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）•（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10
∵m＞0，n＞0
∴$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10≥2$\sqrt{\frac{9m}{n}•\frac{n}{m}}$+10=16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=3m=$\frac{3}{4}$時(shí)，取得等號(hào)．
∴$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10的最小值為16．
即$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值為16．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用和在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，注意乘1法的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．