Question

8．求函數(shù)y=cos²x+sinx的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 令sinx=t，函數(shù)y=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{5}{4}$，-1≤t≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：令sinx=t，函數(shù)y=cos²x+sinx=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，-1≤t≤1．
可得：當(dāng)t∈[-1，$\frac{1}{2}$]，單調(diào)遞增；當(dāng)t∈[$\frac{1}{2}$，1]，單調(diào)遞減；
由于：x∈[2kπ，2kπ+$\frac{π}{6}$]時，y=sinx單調(diào)遞增；
x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]時，y=sinx單調(diào)遞減；
x∈[2kπ+$\frac{3π}{2}$，2kπ+2π]時，y=sinx單調(diào)遞增；
x∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]時，y=sinx單調(diào)遞增；
x∈[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]時，y=sinx單調(diào)遞減；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：
y=cos²x+sinx單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]和[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
y=cos²x+sinx單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]和[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]．k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．