Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n，求{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿ（n-1）．n=1時(shí)也成立．再利用分組求和即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=0，4S_n=1-a_n+1，n∈N^*．
∴0=1-a₂，解得a₂=1．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）=1-a_n+1-（1-a_n），化為：a_n+1=-3a_n．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為-3．
∴a_n=（-3）^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（-3）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=（-1）ⁿlog₃a_2n=（-1）ⁿ（n-1）．n=1時(shí)也成立．
∴{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=（0+1）+（-2+3）+…+[-（n-2）+n-1]
=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論思想方法、分組求和方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．