13.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,直線AF2與橢圓的另一個交點為C,若△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍,則橢圓的離心率為( 。
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$D.$\frac{3\sqrt{3}}{10}$

分析 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),設(shè)x=-c,代入橢圓方程,求得A的坐標(biāo),設(shè)出C(x,y),由△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍,可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$,運用向量的坐標(biāo)運算可得x,y,代入橢圓方程,運用離心率公式,解方程即可得到所求值.

解答 解:設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
由x=-c,代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$,
可設(shè)A(-c,$\frac{^{2}}{a}$),C(x,y),
由△ABF2的面積是△BCF2的面積的2倍,
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$,
即有(2c,-$\frac{^{2}}{a}$)=2(x-c,y),
即2c=2x-2c,-$\frac{^{2}}{a}$=2y,
可得x=2c,y=-$\frac{^{2}}{2a}$,
代入橢圓方程可得,$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4{a}^{2}}$=1,
由e=$\frac{c}{a}$,b2=a2-c2,
即有4e2+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$e2=1,
解得e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故選:A.

點評 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用橢圓的方程和向量的共線的坐標(biāo)表示,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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