Question

4．在直角坐標系xOy中，直線l的方程是y=8，圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l和圓C的極坐標方程；
（2）射線OM：θ=α（其中$0＜a＜\frac{π}{2}$）與圓C交于O、P兩點，與直線l交于點M，射線ON：$θ=α+\frac{π}{2}$與圓C交于O、Q兩點，與直線l交于點N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線的直角坐標方程能求出直線l的極坐標方程，由圓C的參數(shù)方程，能求出圓C的普通方程，從而能求出圓C的極坐標方程．
（Ⅱ）求出點P，M的極坐標，從而$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}$，$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$，由此能求出$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值是$\frac{1}{16}$．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的方程是y=8，∴直線l的極坐標方程是ρsinθ=8．
∵圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴圓C的普通方程分別是x²+（y-2）²=4，
即x²+y²-4y=0，
∴圓C的極坐標方程是ρ=4sinθ．…．（5分）
（Ⅱ）依題意得，點P，M的極坐標分別為$\left\{\begin{array}{l}{ρ=4sinα}\\{θ=α}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{ρsinα=8}\\{θ=α}\end{array}\right.$，
∴|OP|=4sinα，|OM|=$\frac{8}{sinα}$，
從而$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}$．
同理，$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}•\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{si{n}^{2}（2α）}{16}$，
故當$α=\frac{π}{4}$時，$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的值最大，該最大值是$\frac{1}{16}$．…（10分）

點評 本題考查與線與圓的杉坐標方程的求法，考查兩組線段比值的乘積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．