Question

2．已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ） 設(shè)1-x²=t，把f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t）并求其值域．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇偶性的定義判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并運(yùn)用單調(diào)性確定函數(shù)的值域．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 1+x＞0\end{array}\right.$，解得，-1＜x＜1，
所以，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
由f（-x）=lg（1+x）+lg（1-x）+（-x）⁴-2（-x）²
=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=f（x），
所以，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=lg（1-x²）+x⁴-2x²，
設(shè)t=1-x²，由x∈（-1，1），得t∈（0，1]．
則g（t）=lgt+（t²-1），其中t∈（0，1]，
∵y=lgt與 y=t²-1在t∈（0，1]均是增函數(shù)，
∴函數(shù)g（t）=lgt+（t²-1）在t∈（0，1]上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和證明，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．