Question

11．已知a≥0，b≥0，a²+b²=1，求證：ab+b≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)a=cosα，b=sinα，0≤α≤$\frac{π}{2}$，即有y=ab+b=（cosα+1）sinα，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極小值且為最小值，進(jìn)而得到證明．

解答 證明：由a≥0，b≥0，a²+b²=1，
可設(shè)a=cosα，b=sinα，0≤α≤$\frac{π}{2}$，即有y=ab+b=（cosα+1）sinα，
函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為y′=-sin²α+cosα（cosα+1）=2cos²α+cosα-1=（2cosα-1）（cosα+1），
由0≤α≤$\frac{π}{2}$，y′=0，可得cosα=$\frac{1}{2}$，即有α=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)0≤α＜$\frac{π}{3}$時，y′＞0，函數(shù)遞增；
當(dāng)$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$時，y′＜0，函數(shù)遞減．
即有a=cosα=$\frac{1}{2}$，b=sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取得最小值，為$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
則有ab+b≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用換元法和三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最值，屬于中檔題．