Question

10．平面直角坐標(biāo)系有點P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]；
（1）求向量$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OQ}$的夾角θ的余弦值；
（2）令f（cosx）=cosθ，求f（cosx）的最小值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的夾角公式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的時即可得到所求；
（2）由（1）可求得f（cosx），由x的范圍可求cosx的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求f（cosx）的最小值．

解答 解：（1）cosθ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{cosx+cosx}{\sqrt{1+co{s}^{2}x}•\sqrt{1+co{s}^{2}x}}$
=$\frac{2cosx}{1+co{s}^{2}x}$，x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]；
（2）f（cosx）=cosθ，可得
f（cosx）=$\frac{2cosx}{1+co{s}^{2}x}$=$\frac{2}{cosx+\frac{1}{cosx}}$，
由x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，可得cosx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=cosx（t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
則f（t）=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$，由t+$\frac{1}{t}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{{t}^{2}}$≤0，
即有[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]為減區(qū)間，可得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，
取得最大值，且為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則f（cosx）的最小值為$\frac{2}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)表示，向量與三角函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．