Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）．設(shè)點D（n，0），E（m，0）．M為拋物線C上的動點（異于頂點），連接ME并延長交拋物線C于點N，連接MD、ND并延長交拋物線C于點P、Q，連接PQ．設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁，k₂．
（1）若k₁=1，m=2，|MN|=4$\sqrt{6}$，求p；
（2）是否存在與p關(guān)的常數(shù)λ，使得k₂=λk₁恒成立．若存在請用m，n表示出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線MN的方程為y=x-2，代入y²=2px，利用弦長公式，即可求p；
（2）先求出P，Q的坐標，再利用M，E，N共線，得出y₁y₂=-2mp，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線MN的方程為y=x-2，代入y²=2px，整理可得x²-（4+2p）x+4=0，
∵|MN|=4$\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{（4+2p）^{2}-16}$═4$\sqrt{6}$，
∵p＞0，∴p=2；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為x=$\frac{{x}_{1}-n}{{y}_{1}}$y+n
代入拋物線方程整理得y²-$\frac{2p（{x}_{1}-n）}{{y}_{1}}$y-2pn=0，
∴y₁y₃=-2pm，∴y₃=-$\frac{2pn}{{y}_{1}}$，
∴x₃=$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$，∴P（$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$，-$\frac{2pn}{{y}_{1}}$），
同理Q（$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}}$，-$\frac{2pn}{{y}_{2}}$）
∵M，E，N共線，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$，
∴$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}{y}_{1}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$y₂=m（y₁-y₂），
∴y₁y₂=-2mp，
∴k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{m（{y}_{2}-{y}_{1}）}{n（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{m}{n}$k₁，
∴λ=$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{m}{n}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查弦長公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．