Question

8．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在極坐標系（以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，直線l的方程為$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）若直線l與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得直角坐標方程．
（2）直線l的方程為$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標方程．由于直線l與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，可得圓心到直線的距離等于半徑，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinθ}\\{y=3cosθ-2}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為直角坐標方程：（x-2）²+（y+2）²=9．
（2）直線l的方程為$\sqrt{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ=2a，化為直角坐標方程：$x+y=\sqrt{2}a$．
∵直線l與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，
∴$\frac{|2-2-\sqrt{2}a|}{\sqrt{2}}$=3，解得a=±3．
∴a=±3．

點評 本題考查了把極坐標方程分別化為直角坐標方程的方法、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．