Question

3．如圖，正四面體S-ABC中，其棱長為2．
（1）求該幾何體的體積；
（2）已知M，N分別是棱AB和SC的中點．求直線BN和直線SM所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取三角形ABC 的中心O，連接SO，說明SO為正四面體的高，求出底面面積與高，即可求解幾何體的體積．
（2）連接MC，取MC中點E，連接BE，NE，BN，說明直線BN和直線NE所成的角即為直線BN和直線SM所成的角．通過解三角形求解即可．

解答 解：（1）取三角形ABC 的中心O，連接SO，
由正四面體的性質(zhì)知$SO=\sqrt{S{M^2}-O{M^2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
SO為正四面體的高，$\begin{array}{c}{S}_{△ABC}=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
$V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SO=\frac{2\sqrt{2}}{3}$…（6分）
（2）連接MC，取MC中點E，連接BE，NE，BN，則NE平行于SB．
則直線BN和直線NE所成的角即為直線BN和直線SM所成的角．
BN=$\sqrt{3}$，NE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，BE=$\sqrt{E{M^2}+M{B^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴$\begin{array}{l}cos∠BNE=\frac{{B{N^2}+N{E^2}-B{E^2}}}{2BN•NE}=\frac{2}{3}\end{array}$，
∴該幾何體的體積$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
直線BN和直線SM所成的角的余弦值$\frac{2}{3}$．…（12分）．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，異面直線所成角的求法，考查計算能力以及空間想象能力邏輯推理能力．．