Question

19．當(dāng)x＞0 時(shí)，求函數(shù)y=$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$的最大值．

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出函數(shù)的最值．

解答 解：f′（x）=[$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$]′=$\frac{（40+2x）（{x}^{2}+225）-（20+x）^{2}（2x）}{（{x}^{2}+225）^{2}}$=$\frac{-40{x}^{2}-350x+9000}{（{x}^{2}+225）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{45}{4}$，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜$\frac{45}{4}$，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞$\frac{45}{4}$，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=$\frac{45}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）_max=f（$\frac{45}{4}$）=$\frac{25}{9}$，
∴函數(shù)y=$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$的最大值為$\frac{25}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．