Question

6．已知函數(shù)f（x）=x⁴lnx-a（x⁴-1），a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）f（x）的極小值為φ（a），當a＞0時，求證：$\frac{1}{4}（{{e^{1-\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}}）≤φ（a）＜0$．（e=2.71828…為自然對數(shù)的底）

Answer 1

分析 （1）求出導函數(shù)，利用導函數(shù)的概念求切線的斜率，點斜式寫出方程即可；
（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出導函數(shù)，對參數(shù)a分類討論，討論是否滿足題意；
（3）根據(jù)導函數(shù)求出函數(shù)的極小值φ（a），對極小值進行求導，利用導函數(shù)得出極小值的最大值等于零，右右不等式得證，再利用構造函數(shù)的方法，通過導函數(shù)證明左式成立．

解答 解：（1）f'（x）=4x³lnx+x³-4ax³．…（1分）
則f'（1）=1-4a．又f（1）=0，
所以，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（1-4a）（x-1）．…（3分）
（2）由（1）得f'（x）=x³（4lnx+1-4a）．
①當$a≤\frac{1}{4}$時，因為y=4lnx+1-4a為增函數(shù)，所以當x≥1時，4lnx+1-4a≥4ln1+1-4a=1-4a＞0，
因此f'（x）≥0．
當且僅當$a=\frac{1}{4}$，且x=1時等號成立，
所以f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
因此，當x≥1時，f（x）≥f（1）=0．
所以，$a≤\frac{1}{4}$滿足題意．…（6分）
②當$a＞\frac{1}{4}$時，由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，
解得$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
因為$a＞\frac{1}{4}$，所以$a-\frac{1}{4}＞0$，所以${e^{a-\frac{1}{4}}}＞{e^0}=1$．
當$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時，f'（x）＜0，因此f（x）在$（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$上為減函數(shù)．
所以當$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時，f（x）＜f（1）=0，不合題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{4}]$．…（9分）
（3）由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
當$x∈（0，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當$x∈（\;{e^{a-\frac{1}{4}}}，\;+∞）$時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
所以f（x）的極小值$φ（a）=f（{e^{a-\frac{1}{4}}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}$．…（10分）
由φ'（a）=1-e^4a-1=0，得$a=\frac{1}{4}$．
當$a∈（0，\frac{1}{4}）$時，φ'（a）＞0，φ（a）為增函數(shù)；當$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$時，φ'（a）＜0，φ（a）為減函數(shù)．
所以$φ（a）≤φ（\frac{1}{4}）=0$．…（11分）
$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$．
下證：a＞0時，$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$．
$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，
∴$4a≥{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$，
∴$ln（4a）≥1-\;\frac{1}{4a}$，
∴$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．…（12分）
令$r（a）=ln（4a）+\frac{1}{4a}-1$，則$r'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}$．
當$a∈（0，\frac{1}{4}）$時，r'（a）＜0，r（a）為減函數(shù)；當$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$時，r'（a）＞0，r（a）為增函數(shù)．所以$r（a）≥r（\frac{1}{4}）=0$，即$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．
所以$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，即$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）≥0$．所以$φ（a）≥\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$．
綜上所述，要證的不等式成立．…（14分）

點評 考查了導函數(shù)的概念，恒成立問題的轉化，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的最值，難點是對函數(shù)的構造，對導函數(shù)的分類討論．