Question

16．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求
（1）（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值；
（2）$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入，利用基本不等式，求（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值；
（2）由柯西不等式得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）=3[4（a+b+c）+3]=21，即可得出結論．

解答 解：（1）∵a+b+c=1，
∴（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，
當且僅當a=b=3=$\frac{1}{3}$時，（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的最小值為8；
（2）由柯西不等式得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=21
當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時等號成立
故$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值為$\sqrt{21}$．

點評 利用柯西不等式時，關鍵是如何湊成能利用一般形式的柯西不等式的形式，屬于中檔題．