Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)在y軸上，且在該點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說(shuō)明理由；
（3）若b=c=0，證明：對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，使得當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x）成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，即可求得b，c；
（2）對(duì)x討論，當(dāng)x＜0，x=0，x＞0，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，求得值域即可比較；
（3）方法一、對(duì)a討論，①若0＜a≤1，②若a≥1，通過(guò)（2）的結(jié)論和作差，構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值及最值，即可得證；
方法二、設(shè)$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得h（x）的最小值，對(duì)a討論，①若$a＜\frac{e^2}{4}$，②若$a=\frac{e^2}{4}$，③若$a＞\frac{e^2}{4}$，結(jié)合不等式恒成立思想，取m的特殊值，即可得證．

解答 （1）解：由題意可得，f（0）=1，
f'（x）=e^x，f'（0）=1，
g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，
依題意：f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，
解得b=-1，c=1；                
（2）解：a=c=1，b=0時(shí)，g（x）=x²+1，
①x=0時(shí)，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；
②x＜0時(shí)，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；
③x＞0時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，
則h'（x）=e^x-2x．
設(shè)k（x）=h'（x）=e^x-2x，則k'（x）=e^x-2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，k'（x）＜0，k（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，k'（x）＞0，k（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=ln2時(shí)，k（x）取得極小值，且極小值為k（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，
即k（x）=h'（x）=e^x-2x＞0恒成立，故h（x）在R上單調(diào)遞增，又h（0）=0，
因此，當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）＞0，即f（x）＞g（x）．
綜上，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜g（x）；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=g（x）；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．    
（3）證法一：①若0＜a≤1，由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²+1．即e^x＞x²≥ax²，
所以，0＜a≤1時(shí)，取m=0，即有當(dāng)x∈（m，+∞），恒有e^x＞ax²．
②若a≥1，f（x）＞g（x）即e^x＞ax²，等價(jià)于x＞ln（ax²）即x＞2lnx+lna
令t（x）=x-2lnx-lna，則$t'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$．
當(dāng)x＞2時(shí)，t'（x）＞0，t（x）在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
取${x_0}=a{e^2}$，則${x_0}≥{e^2}＞2$，所以t（x）在（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又$t（{x_0}）={e^2}a-2ln{e^2}a-lna={e^2}a-4-3lna＞7a-4-3lna$=4（a-1）+3（a-lna）＞0
即存在m=ae²，當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x）．
綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，使得當(dāng)x∈（m，+∞），恒有f（x）＞g（x）．
證法二：設(shè)$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-2）}}{x^3}$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)減，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)增，
故h（x）在（0，+∞）上有最小值，$h（2）=\frac{e^2}{4}$，
①若$a＜\frac{e^2}{4}$，則h（x）＞2在（0，+∞）上恒成立，
即當(dāng)$a＜\frac{e^2}{4}$時(shí)，存在m=0，使當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x）；
②若$a=\frac{e^2}{4}$，存在m=2，使當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x）；
③若$a＞\frac{e^2}{4}$，同證明一的②，
綜上可得，對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，當(dāng)x∈（m，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和不等式恒成立問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．