Question

4．已知四面體ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為棱BC和AD的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求證：AD⊥BC；
（3）若△ABC內(nèi)的點(diǎn)G滿足FG∥平面BCD，設(shè)點(diǎn)G構(gòu)成集合T，試描述點(diǎn)集 的位置（不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）由題意可證AE⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)即可證明AE⊥平面BCD．
（2）先證明BC⊥DE，由（1）知AE⊥BC，由判定定理可得BC⊥平面AED，由線面垂直的性質(zhì)即可證明BD⊥AD．
（3）由線面平行的判定定理可得取AB、AC的中點(diǎn)M、N，所有的點(diǎn)G構(gòu)成的集合T即為△ABC的中位線MN．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC．
又∵平面ABC⊥平面BCD，AE?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AE⊥平面BCD．
（2）∵BD=CD，E為BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥DE．
由（1）知AE⊥BC，又AE∩DE=E，AE，DE?平面AED，
∴BC⊥平面AED，又AD?平面AED，
∴BD⊥AD．
（3）取AB、AC的中點(diǎn)M、N，所有的點(diǎn)G構(gòu)成的集合T即為△ABC的中位線MN．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．