Question

12．奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{πx}{3}，0≤x≤1}\\{lo{g}_{2}\frac{1}{x}，1＜x＜2}\end{array}\right.$，則f（2014）+f（2015）+f（2016）的值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則函數(shù)的周期是4，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∵f（x+2）=f（-x），
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（2）=f（0）=0，
則f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0，
f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
則f（2014）+f（2015）+f（2016）=0-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+0=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．