Question

11．（重點中學做）已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用遞推關系可得：a_n=$\frac{1}{n}$．再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n∈N^*），
∴當n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，解得a₁=1．
當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（n-1）^{2}}{{a}_{n-1}}$=$[\frac{n（n-1）}{2}]^{2}$（n∈N^*），
可得：$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$=n³，解得a_n=$\frac{1}{n}$．
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．