Question

4．若0＜α＜π，0＜β＜π，并且8cos²α-9tan²β+$\sqrt{3}$（8sinα+6tanβ）=17，求兩個(gè)角α，β

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，配方法化簡(jiǎn)已知可得-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，從而解得sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合范圍0＜α＜π，0＜β＜π，即可得解．

解答 解：∵8cos²α-9tan²β+$\sqrt{3}$（8sinα+6tanβ）=17，
⇒-8sin²α-9tan²β+8$\sqrt{3}$sinα+6$\sqrt{3}$tanβ=9，
⇒-8sin²α+8$\sqrt{3}$sinα=9tan²β-6$\sqrt{3}$tanβ+9，
⇒6-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-3+9，
⇒-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
⇒sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0，
⇒sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜α＜π，0＜β＜π，
∴α=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，β=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，配方法在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．