Question

11．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x．
（1）求f（x）的零點(diǎn)．
（2）用定義判別f（x）的奇偶性；
（3）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得f（x）的零點(diǎn)．
（2）驗(yàn)證f（-x）=-f（x），即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論．

解答 解：（1）由2^x-2^-x=0，可得x=0，即f（x）的零點(diǎn)是0．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}}$-（${2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}}$）
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．