Question

5．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立及坐標系．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標方程和普通方程．
（Ⅱ）過點A（m，0）作曲線C的兩切線AP，AQ，切點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點．

Answer 1

分析 （I）消參數(shù)得到普通方程，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得到極坐標方程；
（II）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系求出切點P，Q的坐標，得到直線PQ的方程，令m的系數(shù)為0得出定點坐標．

解答 解：（I）將x=t代入y=t²+1，得y=x²+1，∴曲線C的普通方程為y=x²+1．
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=x²+1得ρsinθ=ρ²cos²θ+1．
∴曲線C的極坐標方程為ρsinθ=ρ²cos²θ+1．
（II）設(shè)過A（m，0）的直線y=k（x-m）與曲線y=x²+1相切，切點為（x，y）
則$\left\{\begin{array}{l}{2x=k}\\{y={x}^{2}+1}\\{y=k（x-m）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{{m}^{2}+1}}\\{y=2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=m-\sqrt{{m}^{2}+1}}\\{y=2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$．
∴直線PQ方程為$\frac{y-（2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2）}{4m\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{x-（m-\sqrt{{m}^{2}+1}）}{2\sqrt{{m}^{2}+1}}$，即2mx-y+2=0．
顯然，當(dāng)x=0時，y=2．
∴直線PQ過定點（0，2）．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，直角坐標方程的互化，導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，直線方程的應(yīng)用．