Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$，a_n＞0，求a_n．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式兩邊平方，可得數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以2為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后，取倒數(shù)再開(kāi)方可得a_n．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$，兩邊平方可得，$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+2$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=2$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以2為公差的等差數(shù)列，
又a₁=1，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+2（n-1）=2n-1$，
則${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{2n-1}$，
∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{\frac{1}{2n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．