Question

3．△ABC的三邊長(zhǎng)度分別是2，3，x，由所有滿足該條件的x構(gòu)成集合M，現(xiàn)從集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是鈍角三角形的概率為（　�。�

• A． $\frac{{4-\sqrt{13}+\sqrt{5}}}{4}$
• B． $\frac{{5-\sqrt{13}}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC的三邊長(zhǎng)度分別是2，3，x，$\left\{\begin{array}{l}{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，1＜x＜5，區(qū)間長(zhǎng)度為4，△ABC恰好是鈍角三角形$\left\{\begin{array}{l}{4+{x}^{2}-9＜0}\\{4+9-{x}^{2}＜0}\\{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，x的取值范圍是（1，$\sqrt{5}$）∪（$\sqrt{13}$，5），區(qū)間長(zhǎng)度為（4-$\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$），即可求出概率．

解答 解：由題意，△ABC的三邊長(zhǎng)度分別是2，3，x，$\left\{\begin{array}{l}{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，∴1＜x＜5，區(qū)間長(zhǎng)度為4，
△ABC恰好是鈍角三角形$\left\{\begin{array}{l}{4+{x}^{2}-9＜0}\\{4+9-{x}^{2}＜0}\\{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，
∴x的取值范圍是（1，$\sqrt{5}$）∪（$\sqrt{13}$，5），區(qū)間長(zhǎng)度為（4-$\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$），
∴從集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是鈍角三角形的概率為$\frac{4-\sqrt{13}+\sqrt{5}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，會(huì)求一元二次不等式組的解集，是一道綜合題．學(xué)生在做題時(shí)應(yīng)注意鈍角三角形這個(gè)條件．