Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）在每段區(qū)間上的解析式，并在圖上的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若不等式|x+1|+|x-3|≥a+$\frac{1}{a}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用進(jìn)行表示即可．
（2）根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用求出|x+1|+|x-3|的最小值，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x，}&{x＜-1}\\{4}&{-1≤x≤3}\\{2x-2，}&{x＞3}\end{array}\right.$…（2分）
函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．

（2）由（1）知f（x）的最小值是4，
所以要使不等式|x+1|+|x-3|≥a+$\frac{1}{a}$恒成立，有4≥a+$\frac{1}{a}$，…（7分）
若a＜0，則不等式恒成立，
若a＞0，則不等式等價(jià)為a²-4a+1≤0，
得2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜0或2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及不等式恒成立，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．