Question

4．已知函數(shù)f（x）=（1-2x）（1+x）⁶的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶．
（1）求a₃；
（2）求a₀+$\frac{1}{3}$a₁+$\frac{1}{3^2}$a₂+…+$\frac{1}{3^6}$a₆．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，
（2）a₀+$\frac{1}{3}$a₁+$\frac{1}{3^2}$a₂+…+$\frac{1}{3^6}$a₆=f（$\frac{1}{2}$）=0，問題得以解決．

解答 解：（1）f'（x）=-2（1+x）⁶+6（1-2x）（1+x）⁵=2（2-7x）（1+x）⁵
因而${a_3}=4C_6^2×（-3）+4C_6^3=-100$；
（2）由已知可得：a₀+$\frac{1}{3}$a₁+$\frac{1}{3^2}$a₂+…+$\frac{1}{3^6}$a₆=f（$\frac{1}{3}$）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．