Question

9．設(shè)f（x）=|x+3|-a|2x-1|
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x分類(lèi)討論，去絕對(duì)值，分別求出f（x）＞3，得解集為（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，對(duì)x分類(lèi)討論：當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，a∈R；當(dāng)x≠$\frac{1}{2}$時(shí)，|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a對(duì)[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分離常數(shù)法得出$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），進(jìn)而求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，
當(dāng)x＜-3時(shí)，
f（x）=x-4，f（x）＞3，
∴無(wú)解
當(dāng)-3≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）=3x+2，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{3}$＜x$≤\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）=4-x，f（x）＞3，
∴$\frac{1}{2}＜$x＜1，
∴解集為（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
∴|x+3|≥a|2x-1|恒成立，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，a∈R，
當(dāng)x≠$\frac{1}{2}$時(shí)，∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|≥a對(duì)[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∵$\frac{x+3}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{7}{2}}{2x-1}$∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞），
∴|$\frac{x+3}{2x-1}$|的最小值為$\frac{2}{3}$，
∴a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值函數(shù)的求解和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．