Question

8．下面給出四個命題的表述：
①直線（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）恒過定點（-3，3）；
②線段AB的端點B的坐標(biāo)是（3，4），A在圓x²+y²=4上運動，則線段AB的中點M的軌跡方程${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1
③已知M={（x，y）|y=$\sqrt{1-{x^2}}$}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，則b∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
④已知圓C：（x-b）²+（y-c）²=a²（a＞0，b＞0，c＞0）與x軸相交，與y軸相離，則直線ax+by+c=0與直線x+y+1=0的交點在第二象限．
其中表述正確的是①②④（ （填上所有正確結(jié)論對應(yīng)的序號）

Answer 1

分析 ①將直線方程進(jìn)行重新整理，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可，
②設(shè)出M和A點的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式得到兩點坐標(biāo)的關(guān)系，把A的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程后整理得答案．
③畫出兩函數(shù)圖象，抓住兩個關(guān)鍵點，一是直線過點A；一是直線與圓相切，求出相應(yīng)b的值，即可確定出兩集合不為空集時b的范圍．
④根據(jù)直線與x軸相交，與y軸相離，建立，a，b，c的關(guān)系，結(jié)合直線的交點坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①直線（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y-3=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3=0}\\{3x+4y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即直線恒過定點（-3，3）；故①正確，
②設(shè)AB的中點M（x，y），A（x₁，y₁），
又B（3，4），由中點坐標(biāo)公式得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+3}{2}=x}\\{\frac{{y}_{1}+4}{2}=y}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-3}\\{{y}_{1}=2y-4}\end{array}\right.$．
∵點A在圓x²+y²=4上運動，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4$．
即（2x-3）²+（2y-4）²=4，整理得：${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1．
∴線段AB的中點M的軌跡為${（x-\frac{3}{2}）^2}$+（y-2）²=1，故②正確，
③集合M表示圓心為原點，半徑為1的上半圓，集合N表示直線y=x+b，如圖所示，
當(dāng)直線y=x+b過A點時，把A（1，0）代入得：b=-1；
當(dāng)直線y=x+b與圓相切，且切點在第二象限時，
圓心到直線的距離d=r，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，即b=$\sqrt{2}$（負(fù)值舍去），
則M∩N≠∅時，實數(shù)b的范圍是[-1，$\sqrt{2}$]．故③錯誤，
④解：由圓C：（x-b）²+（y-c）²=a²（a＞0），得到圓心坐標(biāo)為（b，c），半徑r=a，
∵圓C與x軸相交，與y軸相離，
∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b-a＞0，a-c＞0，
聯(lián)立兩直線方程得：$\left\{\begin{array}{l}{ax+by+c=0①}\\{x+y+1=0②}\end{array}\right.$，
由②得：x=-y-1，代入①得：a（-y-1）+by+c=0，
整理得：（b-a）y=a-c，
解得：y=$\frac{a-c}{b-a}$，
∵-a＞0，a-c＞0，
∴$\frac{a-c}{b-a}$＞0，即y＞0，
∴x=-y-1＜0，
則兩直線的交點在第二象限．故④正確，
故答案為：①②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．