Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-m}{{2}^{x}-1}$為奇函數(shù)，m∈R．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）求函數(shù)f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為奇函數(shù)便可得到f（-1）=-f（1），這樣即可求出m=-1；
（2）分離常數(shù)得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，根據(jù)單調(diào)性的定義可以看出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義證明：定義域內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），從而得出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)（2）便有f（x）在[-2，0），（0，3]上單調(diào)遞減，從而可以得出f（x）≤f（-2），或f（x）≥f（3），這樣便可得出f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-1）=-f（1）；
即$\frac{\frac{1}{2}-m}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{2-m}{2-1}$；
解得m=-1；
（2）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，可以看出x增大時(shí)，2^x-1增大，∴f（x）減小；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，設(shè)x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴①x₁，x₂∈（-∞，0）時(shí)，${2}^{{x}_{1}}-1＜0，{2}^{{x}_{2}}-1＜0$；
∴$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
②x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，${2}^{{x}_{1}}-1＞0，{2}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)（2）知，f（x）在[-2，0），（0，3]上單調(diào)遞減；
x從左邊趨向0時(shí)，f（x）趨向負(fù)無(wú)窮，x從右邊趨向0時(shí)，f（x）趨向正無(wú)窮；
∴$f（x）≤f（-2）=-\frac{5}{3}$，或$f（x）≥f（3）=\frac{9}{7}$；
∴f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域?yàn)?（-∞，-\frac{5}{3}]∪[\frac{9}{7}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性的方法，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后是分式的一般要通分，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．