Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，
（1）分別求方程f（x）=1，方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根的個(gè)數(shù)；
（2）試求關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）-3f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$的圖象，從而化方程的根的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0得f（x）=1或f（x）=$\frac{1}{2}$，從而解得．

解答 解：（1）作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，函數(shù)f（x）與y=1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{2}$有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
故方程f（x）=1有3個(gè)不同的根，方程f（x）=$\frac{1}{2}$有4個(gè)不同的根．
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0得，
f（x）=1或f（x）=$\frac{1}{2}$，
結(jié)合（1）知，方程2f²（x）-3f（x）+1=0有7個(gè)不同的根，
故關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）-3f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．