Question

16．已知圓x²+y²=4的兩弦AB，CD交于點(diǎn)P（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$），且$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=0，則|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|的值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由于直線AB、CD均過P點(diǎn)，故可以考慮設(shè)兩個(gè)直線的方程為點(diǎn)斜式方程，但由于點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{CP}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$|
=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}}$，
當(dāng)AB的斜率為0或不存在時(shí)，
可求得AB²+CD²=（$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）²+（$\sqrt{10-2\sqrt{5}}$）²=20，
當(dāng)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=k（x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
直線CD的方程為y-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
由弦長(zhǎng)公式可得：AB²=4•（r²-d²）=4（4-$\frac{（\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}k）^{2}}{1+{k}^{2}}$）
=$\frac{（10+2\sqrt{5}）{k}^{2}+8k+10-2\sqrt{5}}{1+{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得CD²=$\frac{（10-2\sqrt{5}）{k}^{2}-8k+10+2\sqrt{5}}{1+{k}^{2}}$，
∴AB²+CD²=20，
即有|$\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{CB}$|=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．