Question

17．從一批有10件合格品與3件次品的產品中，一件一件地抽取產品，每次取出的產品都立即放回此批產品中，然后再取出一件產品，直到取出合格品為止，求抽取次數ξ的分布列．

Answer 1

分析 ξ的所有取值為1，2，3，…，n，…，“ξ=1”表示只取一次就取到合格品，“ξ=2”表示第一次取到次品，第二次取到合格“，ξ=3”表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品，…，由此能求出相應的概率，從而能求出隨機變量ξ的分布列．

解答 解：ξ的所有取值為1，2，3，…，n，…，
“ξ=1”表示只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{10}{13}$，
“ξ=2”表示第一次取到次品，第二次取到合格，∴P（ξ=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$，
“ξ=3”表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品，
∴P（ξ=3）=$\frac{3}{13}×\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$=（$\frac{3}{13}$）²×$\frac{10}{13}$，
同理，得P（ξ=n）=（$\frac{3}{13}$）ⁿ×$\frac{10}{13}$，
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	…	n	…
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$	$（\frac{3}{13}）^{2}×\frac{10}{13}$	…	$（\frac{3}{13}）^{n}×\frac{10}{13}$	…

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．