Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在[1，10]上存在增區(qū)間，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{10}$，1]．

Answer 1

分析 求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx（a＞0），∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（x＞0）；
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$；
∴在（0，$\frac{1}{a}$]上f′（x）≤0，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，10]上存在增區(qū)間，
∴1≤$\frac{1}{a}$＜10，又a＞0，
∴$\frac{1}{10}$＜a≤1；
故答案為：（$\frac{1}{10}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)解答問(wèn)題，是中檔題．