Question

10．三棱錐P-ABC三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面面積分別為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，則該三棱錐的外接球表面積為6π．

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的表面積．

解答 解：三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，
它的外接球就是它擴(kuò)展為長方體的外接球，
設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，
則$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$ca=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
解得，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$．
則長方體的對角線的長為$\sqrt{6}$．
所以球的直徑是$\sqrt{6}$，半徑長R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則球的表面積S=4πR²=6π，
故答案為：6π．

點(diǎn)評 本題考查球的表面積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．將三棱錐擴(kuò)展為長方體是本題的關(guān)鍵．